Квадратичная функция и ее график

Graphing Quadratics by PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, licensed under CC-BY-4.0 (https://phet.colorado.edu)

Цель:

  • Знать свойства и строить графики квадратичных функций вида 𝑦 =a(x-m)2 , 𝑦 =ax2+n, 𝑦 =a(x+m)2+n, 𝑎 ≠ 0; 
  • Знать свойства и строить график квадратичной функции вида 𝑦 = ax2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0; 
  • Находить значения функции по заданным значениям аргумента и находить значение аргумента по заданным значениям функции

Эта виртуальная работа предназначена для использования на уроках алгебры по следующим темам:

  • 8 класс. «Квадратичная функция и ее график”

Теоретическая часть

Функция типа 𝑦 = ax2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0 называется квадратичной функцией. 

График функции y=f(x)+m получается путем перемещения графика функции y=f(x) вертикально:

  • вверх, если m — положительное число;
  • вниз, если m — отрицательное число.

График функции  y=f(x+n) можно получить, переместив график функции y=f(x) горизонтально:

  • влево на n единиц, если n — положительное число;
  • вправо на n единиц, если n — отрицательное число.

График функции y=f(x+n)+m можно получить из графика функцииy=f(x), выполнив два последовательных перемещения:

  1. Горизонтальное перемещение:
    • влево на n единиц, если n — положительное число;
    • вправо на n единиц, если n — отрицательное число.
  2. Вертикальное перемещение:
    • вверх на m единиц, если m — положительное число;
    • вниз на m единиц, если m — отрицательное число.

Стандартная форма квадратного уравнения выглядит следующим образом: ax2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. 

Форма вершины квадратного уравнения имеет вид (a(x-h)2+k, где (a) — постоянная, которая определяет, открывается ли парабола вверх или вниз, а ((h,k)) — координаты вершины параболы. Например: 

  • (2(x-7)2+3); вершина находится в точке (7, 3).
  • (2(x+7)2-3); вершина находится в точке (-7, -3).

Графиком квадратичной функции является парабола.

Элементы параболы:

  • Вершина параболы: точка с координатами xb=-b2a и yb=f(b2a).
  • Ось симметрии: прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси Oy.
  • Директриса: прямая, симметричная оси симметрии относительно вершины параболы.
  • Фокус: точка, расстояние от которой до любой точки параболы равно расстоянию от этой точки до директрисы.

Виртуальный эксперимент

Симулятор Graphing Quadratics позволяет учащимся исследовать график квадратичной функции.  На экране Explore (исследование) учащиеся могут использовать ползунки для изучения влияния каждого члена квадратичной функции на график параболы. На экране Standard Form (стандартная форма) основное внимание уделяется главной точке, оси симметрии. Учащиеся могут настраивать функцию, но значения ограничены целыми числами. На экране Vertex Form (вершинная форма) учащиеся изучают преобразование параболы и определяют взаимосвязь между графиком параболы и квадратичной функцией. На экране Focus&Directrix (Фокус и директриса) учащиеся создают параболу на основе пика и фокуса.

Ход работы:

Раздел 1. Изучить

Шаг 1. Запустите симуляцию: вам будет предложено 4 различных режима: Explore, Standard Form, Vertex Form и Focus&Directrix. Запустите режим Explore.

Шаг 2. Вам дано: 

  • Координатная плоскость OXY и график параболы (1);
  • Инструменты для отображения значений точек (x,y) в координатах графика (2);
  • Вы можете не отображать график с экрана, нажав на глаз (3);
  • Уравнение 𝑦 = ax2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , значения a, 𝑏, 𝑐, и устройства для изменения их значения (4);
  • Вы можете сохранить тип графика, нажав кнопку камеры (5); 
  • Вы можете удалить сохраненный график, нажав кнопку ластика (6);
  • Если вы откроете раздел квадратичных членов: даны уравнения 𝑦 = ax2, 𝑦 = 𝑏𝑥, 𝑦 = 𝑐. Вы можете увидеть их графики на плоскости координат, установив для них галочку. Вы можете увидеть уравнения этих графиков, установив галочку на кнопке уравнения (7);
  • Кнопка перезагрузки (8). 

Шаг 3. a=1. Измените этот параметр по разному. Если вы увеличите значение a, расстояние параболы уменьшится, если вы уменьшите,  увидите, что расстояние увеличивается. При переходе к отрицательному значению график смотрит вниз.

Шаг 4. 𝑏=0. Измените этот параметр по разному. Если вы увеличиваете значение 𝑏, парабола перемещается влево по координате, если вы уменьшаете, она перемещается вправо.

Шаг 5. 𝑐=0. Измените этот параметр по разному. Если вы увеличите значение 𝑐, парабола переместится вверх по координате, если вы уменьшите ее, парабола переместится вниз.

Шаг 6. Постройте различные уравнения и изучите их график, изменив значения a, 𝑏, 𝑐. Вы можете сохранить и изучить типы графики, нажав кнопку камеры. 

Шаг 7. Попробуйте изучить точки параболы с помощью инструментов, которые показывают значения точек (x,y) в координатах графика.

Шаг 8. Откройте раздел уравнения. Включите уравнения 𝑦 = ax2, 𝑦 = 𝑏𝑥, 𝑦 = 𝑐 и включите кнопку уравнения. Изучите изменения в графике.

Раздел 2. Стандартная форма

Шаг 9. Перейдите в Standard Form. Вам дано:

  • Координатная плоскость OXY и график параболы;
  • Инструменты для отображения значений точек (x,y) в координатах графика;
  • Вы можете не отображать график с экрана, нажав на глаз;
  • Уравнение 𝑦 = ax2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , значения a, 𝑏, 𝑐, и устройства для изменения их значения;
  • Вы можете сохранить тип графика, нажав кнопку камеры; 
  • Вы можете удалить сохраненный график, нажав кнопку ластика;
  • Дана вершинная точка, ось симметрии, корни. Их можно увидеть на плоскости координат, установив галочку. Вы можете увидеть уравнения этих графиков, установив галочку на кнопке уравнения. С помощью кнопки координаты вы можете увидеть пиковую точку графика, ось симметрии, значения корней (x, y);
  • Кнопка перезагрузки.  

Шаг 10. Постройте и изучите график различных уравнений, изменив значения a, 𝑏, 𝑐. В этом разделе коэффициенты представлены в виде натурального числа. 

Шаг 11. Попробуйте изучить точки параболы с помощью инструментов, которые показывают значения точек (x, y) в координатах графика.

Шаг 12. Попробуйте добавить кнопки «пиковая точка», «ось симметрии», «корни» и «уравнения». Изучите изменения в графике.

Раздел 3. Вершинная форма

Шаг 13. Перейдите в Vertex Form. Вам дано:

  • Координатная плоскость OXY и график параболы;
  • Инструменты для отображения значений точек (x,y) в координатах графика;
  • Вы можете не отображать график с экрана, нажав на глаз;
  • Уравнение 𝑦 = (a(x-h)2+k , значения a, h,k и устройства для изменения их значения;
  • Вы можете сохранить тип графика, нажав кнопку камеры; 
  • Вы можете удалить сохраненный график, нажав кнопку ластика;
  • Дана вершинная точка, ось симметрии. Их можно увидеть на плоскости координат, установив галочку. Вы можете увидеть уравнения этих графиков, установив флажок на кнопке уравнения. С помощью кнопки координаты вы можете увидеть значения вершинной точки графика и оси симметрии (x, y);
  • Кнопка перезагрузки. 

Шаг 14. Постройте и изучите графики различных уравнений, изменив значения a, h,k. В этом разделе коэффициенты представлены в виде натурального числа. 

Шаг 15. Попробуйте изучить точки параболы с помощью инструментов, которые показывают значения точек (x, y) в координатах графика.

Шаг 16. Попробуйте добавить кнопки «пиковая точка», «ось симметрии» и «уравнения». Изучите изменения в графике.

Раздел 4. Фокус и директриса

Шаг 17.  Перейдите в Focus&Directrix. Вам дано:

  • Координатная плоскость OXY и график параболы;
  • Инструменты для отображения значений точек (x,y) в координатах графика;
  • Вы можете не отображать график с экрана, нажав на глаз;
  • Уравнение y=14p(x-h)2+k, значения p, h,k и устройства для изменения их значения;
  • Вы можете сохранить тип графика, нажав кнопку камеры; 
  • Вы можете удалить сохраненный график, нажав кнопку ластика;
  • Дана точка пика, фокус, директриса и точка параболы. Их можно увидеть на плоскости координат, установив галочку. Вы можете увидеть уравнения этих графиков, установив флажок на кнопке уравнения. С помощью кнопки координаты вы можете увидеть значения вершинной точки графика и оси симметрии (x, y);
  • Кнопка перезагрузки. 

Шаг 18. Постройте и изучите графики различных уравнений, изменив значения p, h,k. В этом разделе коэффициенты представлены в виде натурального числа. 

Шаг 19. Попробуйте изучить точки параболы с помощью инструментов,которые показывают значения точек (x, y) в координатах графика.

Шаг 20. Попробуйте добавить кнопки «пиковая точка», «фокус», «директриса», «парабола» и «уравнения». Изучите изменения в графике.

Заключение

Симулятор Graphing Quadratics — ценный инструмент для обучения учащихся графикам квадратичных функций. Симулятор стал интерактивным и визуально полезным, предлагая различные инструменты для изучения графиков, такие как отображение точек, отображение уравнений и сохранение графиков.