Векторлардың қосындысы

Vector Addition by PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, licensed under CC-BY-4.0 (https://phet.colorado.edu)

Мақсаты:

  • Векторды сипаттау;
  • Векторларды қосу әдісін түсіндіру;
  • Компонент мәндерлерін салыстыру;
  • Векторды құрамдас бөліктерге бөлу.

Бұл виртуалды жұмыс геометрия сабағында келесі тақырыбы бойынша пайдалануға арналған:

  • 9 сынып. “Векторлардың қосындысы”

Теориялық бөлім

Вектор — бұл түзудің бағытталған сегменті:

  • Бастауы: вектор шығатын нүкте.
  • Соңы: вектор көрсететін нүкте.
  • Ұзындығы: басы мен соңы арасындағы қашықтық.
  • Бағыты: вектордың соңында көрсеткі арқылы көрсетіледі.

Векторларды қосу операциясы

Векторларды қосу — бұл екі немесе одан да көп векторларды қосудың нәтижесі болып табылатын жаңа векторды табуға мүмкіндік беретін геометриялық операция.

  • Параллелограмм ережесі: Егер сіз екі векторды белгілі бір нүктеден кейінге қалдырсаңыз, онда олардың қосындысы осы векторларға салынған параллелограммның диагоналіне тең болады.
  • Үшбұрыш ережесі: бірінші вектордың соңы екіншісінің басына қосылады. Векторлардың қосындысы-бірінші вектордың басынан екіншісінің соңына дейін жүргізілген вектор.

Векторларды қосу операциясының қасиеттері

Коммутативтілік: a + b = b + a (қосындыларды ауыстырудан сома өзгермейді).

Ассоциативтілік: (a + b) + с = a + (b + c) (қосындыларды біріктіру тәсілінен сома өзгермейді).

Нөлдік вектордың болуы: кез-келген a: a + 0 = a векторы үшін 0 нөлдік вектор бар.

Қарама-қарсы вектордың болуы: кез-келген а векторы үшін a + (-a) = 0 болатын қарама-қарсы а векторы бар.

Виртуалды эксперимент

Бұл виртуалды жұмыста оқушылар бір өлшемді кеңістіктегі векторларды зерттеп, векторлардың қалай қосылатынын зерттейді. Декарттық координаттардағы векторларды орналастырып және әр вектордың шамасын, бұрышын және компоненттерін зерттейді. Олар әртүрлі тапсырмаларды орындау үшін әртүрлі көріністерді пайдалана алады. 

Жұмыс барысы:

1-қадам. Симуляцияны іске қосыңыз: сізге 4 түрлі режим беріледі: “Explore 1D”, “Explore 2D”, “Lab” және “Equations”. Бұл жұмыста алғашқы 2 режимде жұмыс жасайсыз. “Explore 1D” бөлімін ашыңыз. 

“Explore 1D” бөлімі

Бір өлшемді кеңістік: бұл екі қарама-қарсы бағытта шексіз созылатын сызық. Ол бір координатпен сипатталады (мысалы, X осі). 

2-қадам. Жұмыс аймағында сізге берілген:

  • OX координаталық жазықтығы (1);
  • Векторлар жайлы деректер тақтасы (2);
  • Векторларды қосу, өлшемдерін көрсету, тор батырмалары орналасқан тақта (3);
  • Векторлар: a, b, c (4);
  • Координаталық жазықтықты көлденеңнен тігіне ауыстыру батырмасы (5); 
  • Өшіргіш (6);
  • Қайта бастау батырмасы (7).

3-қадам. Координаталық жазықтыққа a векторын орналастырыңыз. Жоғарыдағы тақтада вектордың деректері көрсетілген.

4-қадам. Sum-қосу, values-өлшем батырмаларын іске қосыңыз. a векторын зерттеңіз. |a|-values, |s|-sum.

5-қадам. b векторын жазықтыққа орналастырыңыз. |b| — b векторының ұзындығын, |s|-sum  a және b векторларының қосынды мәнін көрсетеді. |s| қосынды мәні болғандықтан, a және b векторларының жазықтықта орналасқан жеріне тәуелсіз, сондықтан |s| мәні өзгермейді.

6-қадам. c векторын жазықтыққа орналастырыңыз. |c| — c векторының ұзындығын, |s|-sum   a, b, c векторларының қосынды мәнін көрсетеді.

7-қадам. Координаталық жазықтықты көлденеңнен тігіне ауыстырып, d, e, f векторлары үшін есептеулер жүргізсеңіз болады.

“Explore 2D” бөлімі

Екі өлшемді кеңістік: функциялар мен теңдеулерді графикалық бейнелеу үшін қолданылады. X осі көлденең, Y осі тік. Біз мектеп геометриясында оқитын барлық фигуралар (үшбұрыштар, квадраттар, шеңберлер және т.б.) екі өлшемді.

8-қадам. Жұмыс аймағында сізге берілген:

  • OXY координаталық жазықтығы (1);
  • Векторлар жайлы деректер тақтасы (2);
  • Векторларды қосу, өлшемдерін көрсету, бұрышын көрсету, тор, компоненттер батырмалары орналасқан тақта (3);
  • Векторлар: a, b, c (4);
  • Вектор түрін таңдау: өлшемі бойынша, бұрышы бойынша (5); 
  • Өшіргіш (6);
  • Қайта бастау батырмасы (7).

9-қадам. Координаталық жазықтыққа a векторын орналастырыңыз. Жоғарыдағы тақтада вектордың деректері көрсетілген. |a| — вектор ұзындығы, — бұрышы, ax, ay — x,y осьтері бойынша ұзындығы. 

10-қадам. Sum-қосу, values-өлшем, бұрыш батырмаларын іске қосыңыз. a векторының ax, ay үшін әртүрлі орналасуларын компоненттер тақтасынан әр батырманы басып, зерттеңіз. 

11-қадам. b векторын жазықтыққа орналастырыңыз. |s| қосындысын мәнін зерттеңіз. 

12-қадам. c векторын жазықтыққа орналастырыңыз. |s| қосындысын мәнін зерттеңіз. 

13-қадам. Вектор түрін бұрышы бойынша режимін таңдап, d, e, f векторлары үшін есептеулер жүргізсеңіз болады. 

Қорытынды

Оқушылар бұл симуляцияда жұмыс жасау арқылы вектор ұғымымен жақынырақ танысып, векторларды қосу бойынша білімін шыңдады. Векторларды қосындысы оның өлшемдері мен бұрышына тәуелді екеніне көз жеткізді. Бір және екі өлшемді кеңістіктерде векторлардың орналасуын зерттеп, кеңістікте обьекттердің орналасуын визуалды түрде көрді.