Линейная функция и ее график

Graphing Slope-Intercept by PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, licensed under CC-BY-4.0 (https://phet.colorado.edu)

Цель:

  • Знать определение функции y=kx, строить ее график и устанавливать его расположение в зависимости от k; 
  • Знать определение линейной функции y=kx+b, строить ее график и устанавливать его расположение в зависимости от значений k и b; 
  • Нахождение точек пересечения графика линейной функции с осями координат (без построения графика); 
  • Определение признаков k и b линейной функции y=kx+b, заданной графиком.

Эта виртуальная работа предназначена для использования на уроках алгебры по следующим темам:

  • 7 класс. “Линейная функция и ее график”

Теоретическая часть

Определение линейной функции

Линейная функция – это функция, которую можно записать в виде:

  • y = kx, где k – коэффициент пропорциональности, или
  • y = kx + b, где k – угловой коэффициент, b – свободный член.

Графиком линейной функции всегда является прямая линия.

График функции y = kx

  • Коэффициент k определяет наклон прямой:
    • При k > 0 прямая возрастает (направлена вверх справа налево).
    • При k < 0 прямая убывает (направлена вниз справа налево).
    • При k = 0 прямая параллельна оси Ox (является осью Ox).
  • График функции y = kx всегда проходит через начало координат (точку (0; 0)).

График функции y = kx + b

  • Свободный член b определяет точку пересечения графика с осью Oy.
  • Угловой коэффициент k определяет наклон прямой, как и в случае функции y = kx.
  • График функции y = kx + b параллелен графику функции y = kx и смещен вдоль оси Oy на b единиц вверх, если b > 0, и на |b| единиц вниз, если b < 0.

Нахождение точек пересечения графика с осями координат

  • Точка пересечения с осью Oy:
    • Подставляем x = 0 в уравнение функции и находим значение y. Координаты точки пересечения: (0; b).
  • Точка пересечения с осью Ox:
    • Подставляем y = 0 в уравнение функции и решаем уравнение kx + b = 0 относительно x. Координаты точки пересечения: (-b/k; 0).

Определение коэффициентов k и b по графику

  • Коэффициент b:
    • Находим точку пересечения графика с осью Oy. Ее ордината и есть значение b.
  • Коэффициент k:
    • Выбираем на графике две любые точки A(x1; y1) и B(x2; y2).
    • Используем формулу: k = (y2 — y1) / (x2 — x1).

Виртуальный эксперимент

В симуляторе Graphing Slope-Intercept учащиеся исследуют линию под углом наклона. Рисует наклонную линию через уравнение данного графика. Прогнозирует, как изменение значений в линейном уравнении повлияет на линию, показанную на графике. Прогнозирует, как изменение линии, показанной на графике, повлияет на уравнение.

Ход работы:

Раздел 1. Наклонно-интерцептная часть

Шаг 1. Вам будут предоставлены 2 различных режима: “Slope-Intercept” и “Line game». Запустите режим “Slope-Intercept».

Шаг 2. Вам дано: 

  • Координатная плоскость OXY и график y = ⅔x + 1 (1);
  • Инструменты, показывающие значения точек (x,y) в координате графика (2);
  • Вы можете не отображать график с экрана, нажав на глаз (3);
  • уравнение y = mx + b, кнопки, изменяющие значения m, b (4);
  • Кнопки сохранения и выключения типа графика (5); 
  • Кнопки показать наклон, показать графики y = x и y = — x (6);
  • Кнопка перезагрузки (7).

Шаг 3. Определите точки графика y = ⅔x + 1 с помощью инструментов,которые показывают значения точек (x, y) в координате графика. добавьте кнопки отображения графиков y = x и y = — x. Изучите график.

Шаг 4. Измените значения m, b функции y = mx + b и изучите график. 

Шаг 5.  Изучите график, изменив значения m, b на функцию y = mx +b. Вы можете использовать кнопки и инструменты, представленные на экране. Сделайте несколько расчетов.

Раздел 2. Игровая часть

Шаг 6. Активируйте режим “Line game». Вам дано 4 уровня. Выберите первый уровень.

Шаг 7. Вам дано: 

  • Табличка уравнения графика (1);
  • Координатная плоскость OXY и график y = mx + b (2);
  • Инструменты, показывающие значения точек (x,y) в координате графика (3);
  • Кнопка проверки (4);
  •  Кнопка вернуться к меню (5).

Шаг 8. У вас есть уравнение или график, заданный зеленым цветом. Это задача, которую нужно выполнить:  

  • Если график зеленый, вам нужно создать уравнение, которое правильно подходит для этого графика;
  • Если уравнение зеленое, вам нужно создать график, который правильно соответствует этому уравнению.

Выполните и проверьте поставленную задачу. 

Шаг 9. Выполните задание и переходите к следующим уровням. 

Заключение

Виртуальная работа является ценным инструментом для учащихся для изучения графиков линейных функций. Симулятор стал интерактивным и визуально полезным, предлагая различные инструменты для изучения графиков, такие как отображение точек, отображение уравнений и сохранение графиков.