Биномиальное распределение: игра Плинко

Plinko Probability by PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, licensed under CC-BY-4.0 (https://phet.colorado.edu)

Цель:

Знание определений и формул для вычисления дисперсии и стандартного отклонения

Эта виртуальная работа предназначена для использования на уроке алгебры в следующей главе:

8 класс. “Среднее значение. Дисперсия. Стандартное отклонение” 

Теоретическая часть

Игра Плинко – это увлекательное сочетание случайности и механики. Шарик, проходя через множество гвоздей, в итоге попадает в один из нижних слотов. Казалось бы, предсказать, куда именно упадет шарик, невозможно. Однако, математический аппарат позволяет нам приблизиться к ответу на этот вопрос. 

Среднее значение: Это обычное среднее арифметическое. Оно показывает, вокруг какого значения группируются наши данные. В нашей игре это будет среднее количество ячеек, которое пролетает шарик до конца.

Дисперсия: Показывает, насколько сильно наши данные разбросаны вокруг среднего значения. Большая дисперсия означает, что результаты сильно отличаются друг от друга.

Стандартное отклонение: Это корень квадратный из дисперсии. Оно показывает, насколько в среднем наши данные отклоняются от среднего значения.

Биномиальное распределение: это распределение вероятностей, которое описывает количество достижений в последовательности независимых тестов, каждый из которых имеет только два возможных результата (например, мяч отклоняется влево или вправо). В нашей игре Плинко мы можем использовать биномиальное распределение для моделирования процесса падения мяча.

Формула биномиального распределения:

  • N — общее число испытаний.
  • x — среднее арифметическое
  • s — стандартное отклонение (фактический)
  • smean — коэффициент вариации
  • 𝝻 (мю) — среднее значение по популяции
  • 𝞂 (сигма) — стандартное отклонение (в теоретический)
  • xᵢ — значение каждого отдельного элемента данных
  • Σ — знак суммирования

x=(x1+x2+…+xn)/n

σ = √[ Σ(xᵢ — x̄)² / (n — 1) ]

μ = (Σx) / N

smean=s / μ

Виртуальный эксперимент

Основная цель нашей работы — экспериментально подтвердить теоретические знания о среднем значении, дисперсии и стандартном отклонении на примере игры Плинко в симуляторе Phet. В этой работе учащиеся могут предсказать, в какую корзину упадет мяч, сравнить несколько тестов. Вы можете глубже изучить двоичную вероятность с помощью параметров на доске.

Ход работы:

Шаг 1. Вам предоставлены 2 различных режима: “Intro” и “Lab”. Откройте раздел “Lab”.

Шаг 2. В рабочей зоне вам предоставлен:

  • Игра Плинко (1);
  • Кнопки для отображения падения мяча в ячейки: мяч, дорожка, ничего (2);
  • Кнопки отображения количества шаров в ячейках либо отображения в виде дроби (3);
  • Ластик (4);
  • Панель запуска игры Плинко: штатный или непрерывный выпуск мяча (5);
  • Кнопка подачи количества рядов в игре Плинко: от 1 до 26 (6);
  • Кнопка бинарной вероятности: интервал 0-1 (7);
  • Статистические данные: часть выборку шаров — красного цвета, полностью все данные шаров — синего цвета (8);
  • Голосовое управление и кнопки перезапуска (9).

Шаг 3. Переключите поток мяча на непрерывный. 

Шаг 4. Запустите игру. Остановитесь, когда шары достигнут определенного числа.

Шаг 5. Изучите данные. Смотрите среднее значение, значения стандартного отклонения, среднее арифметическое. Как быть в идеальном состоянии. Попробуйте преобразовать количество шаров в ячейках в дробный тип.

Шаг 6. Измените количество рядов, двоичную вероятность.

Шаг 7. Перезапустите игру. Изучите данные. Сравните результаты игры с предыдущими распределениями вероятностей.

Заключение

Использование симулятора позволило наглядно продемонстрировать взаимосвязь между теорией вероятностей и конкретными экспериментами. Теоретический идеал рассчитал среднее значение и сравнил стандартное отклонение, которые мы получаем в результате нескольких экспериментов на симуляторе. Убедились, что результаты зависят от изменения настроек игры.

Словарь терминов

  • Ball — мяч — доп
  • Path — дорожка — жол
  • None — ничего — ештеңе
  • Rows — ряд — қатар
  • Binary probability — бинарной вероятности — бинарлы ықтималдық
  • Count — количества — саны
  • Fractions — дроби — бөлшек