Взаимное расположение графиков линейных функций

Graphing Lines by PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, licensed under CC-BY-4.0 (https://phet.colorado.edu)

Цель:

  • Знать определение функции y=kx, построить ее график и установить ее расположение в соответствии с k; 
  • Знать определение линейной функции y=kx+b, построить ее график и установить ее расположение в соответствии со значениями k и b; 
  • Нахождение точек пересечения графика линейной функции с осями координат (без построения графика). 

Эта виртуальная работа предназначена для использования на уроках алгебры по следующим темам:

  • 7 класс. «Линейная функция и ее график”
  • 7 класс. «Взаимное расположение графиков линейных функций”

Теоретическая часть

Уравнение прямой в форме y — y1 = m(x — x1) называется точечно-угловой формой. Это уравнение описывает прямую, проходящую через заданную точку M1(x1, y1) с заданным угловым коэффициентом (наклоном) m.

Геометрический смысл параметров:

  • m (угловой коэффициент):
    • Характеризует наклон прямой относительно оси Ox.
    • Если m > 0, прямая направлена вверх (растет слева направо).
    • Если m < 0, прямая направлена вниз (убывает слева направо).
    • Если m = 0, прямая параллельна оси Ox (горизонтальная прямая).
    • Чем больше по модулю значение m, тем круче наклон прямой.
  • (x1, y1): Координаты точки M1, через которую проходит прямая. Эта точка всегда принадлежит прямой.

Как использовать точечно-угловую форму?

  • Построение графика:
    1. Отметить на координатной плоскости точку M1(x1, y1).
    2. Используя угловой коэффициент m, провести прямую через точку M1. Если m > 0, то от точки M1 нужно сделать шаг вправо на 1 единицу по оси Ox и шаг вверх на m единиц по оси Oy. Если m < 0, то шаг вверх нужно заменить на шаг вниз.
  • Составление уравнения:
    1. Найти координаты любой точки M1(x1, y1), принадлежащей прямой.
    2. Вычислить угловой коэффициент m, используя координаты двух точек, принадлежащих прямой (или из геометрического изображения).
    3. Подставить найденные значения x1, y1 и m в уравнение y — y1 = m(x — x1).

Связь с другими формами уравнения прямой:

  • Общее уравнение прямой: Ax + By + C = 0. Точечно-угловую форму можно преобразовать к общему виду путем раскрытия скобок и переноса всех членов в левую часть.
  • Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y = mx + b. Точечно-угловую форму можно преобразовать к этому виду, раскрывая скобки и выражая y.

Виртуальный эксперимент

В этой виртуальной работе учащиеся строят график прямой, заданной уравнением типа y — y1 = m(x — x1). Изучает параметры линейного уравнения в виде y — y1 = m(x — x1). Прогнозирует, как изменение значений в линейном уравнении повлияет на линию, показанную на графике.

Ход работы:

Раздел 1. Наклонно-интерцептная секция

Шаг 1. Вам предоставляется 4 различных режима: “Slope”, “Slope-Intercept”, “Point-Slope” и “Line game”. Вы будете работать в разделах “Point-Slope” и “Line game”. Запустите режим «Point-Slope».

Шаг 2. Вам дано: 

  • Координатная плоскость OXY и график уравнения y — y1 = m(x — x1) (1);
  • Инструменты, показывающие значения точек (x,y) в координате графика (2);
  • Вы можете не отображать график с экрана, нажав на источник (3);
  • Уравнение y — y1 = m(x — x1) и кнопки, изменяющие его параметры (4);
  • Кнопки сохранения и выключения типа графика (5); 
  • Отображение параметров наклона, уравнения y = x, y = — x, кнопки отображения сетки (6);
  • Кнопка перезагрузки (7). 

Шаг 3. Определите точки на графике с помощью инструментов,которые показывают значения точек (x, y) в координате графика. Добавьте кнопки отображения графиков y = x и y = — x. Изучите график. Вы увидите, что уравнение y-2 = ¾ (x-1) пересекается с уравнением y = x в точке (5,5).

Шаг 4. Управляйте фиолетовой и синей точкой, чтобы изменить уравнение. Перетащите фиолетовую точку, чтобы увидеть, как меняется точка в уравнении. Перетащите синюю точку, чтобы изменить наклон. Изучите график.

Шаг 5. Управлять уравнением можно не только изменением точек, но и изменением параметров функции y — y1 = m(x — x1). Измените настройки и изучите график. 

Часть 2. Игровая часть

Шаг 6. Активируйте режим “Line game”. Вам дано 6 уровней. В этой работе вы будете работать на 1-4 уровнях. Выберите первый уровень.

Шаг 7. Вам дано: 

  • Табличка уравнения графика (1);
  • Координатная плоскость OXY и график прямой (2);
  • Инструменты, показывающие значения точек (x,y) в координате графика (3);
  • Кнопка проверки (4);
  •  Кнопка вернуться к меню (5).

Шаг 8. У вас есть уравнение или график, заданный зеленым цветом. Это задача, которую нужно выполнить: 

  • Если график зеленый, вам нужно создать уравнение, которое правильно подходит для этого графика;
  • Если уравнение зеленое, вам нужно создать график, который правильно соответствует этому уравнению.

Выполните и проверьте поставленную задачу. 

Шаг 9. Выполните задание и переходите к следующим уровням. 

Заключение

Виртуальная работа является ценным инструментом для учащихся для изучения графиков линейных функций. Симулятор стал интерактивным и визуально полезным, предлагая различные инструменты для изучения графиков, такие как отображение точек, отображение уравнений и сохранение графиков.

Словарь терминов

  • Slope — Наклон — Көлбеу
  • Slope-Intercept — Склон-Интерцепт — Көлбеу-Интерцепт
  • Point-Slope — Точка — Наклон — Көлбеу нүкте
  • Line game — Игра «Линия» — Сызықтық ойын
  • Save line — Сохранить строку — Жолды сақтау 
  • Erase line — Стереть строку — Жолды өшіру
  • Level — Уровень — Деңгей