График тригонометрической функции

Trig Tour by PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, licensed under CC-BY-4.0 (https://phet.colorado.edu)

Цель:

  • Знать определения, свойства тригонометрических функций и уметь строить их графики

Эта виртуальная работа предназначена для использования на уроке алгебры в следующей главе:

  • 10 класс. «Тригонометрические функции, их свойства и графики” 

Теоретическая часть

Свойства тригонометрических функций

  • Периодичность: Все тригонометрические функции являются периодическими. Это означает, что их значения повторяются через определенный интервал. Например, для синуса и косинуса период равен 2π.
  • Четность и нечетность: Синус — нечетная функция (sin(-x) = -sin x), а косинус — четная функция (cos(-x) = cos x).
  • Область определения и значения:
    • Для синуса и косинуса область определения — все действительные числа, а область значений — отрезок [-1, 1].
    • Для тангенса и котангенса область определения — все действительные числа, кроме точек, в которых косинус или синус обращается в ноль, соответственно. Область значений — все действительные числа.

Графики тригонометрических функций

Графики тригонометрических функций позволяют наглядно представить их свойства.

  • Синус: График функции y = sin x представляет собой синусоиду, которая периодически повторяется.
  • Косинус: График функции y = cos x также представляет собой синусоиду, но сдвинутую относительно графика синуса на π/2.
  • Тангенс: График функции y = tg x имеет вертикальные асимптоты в точках x = π/2 + πk, где k — целое число.
  • Котангенс: График функции y = ctg x также имеет вертикальные асимптоты, но в точках x = πk, где k — целое число.

Виртуальный эксперимент

Симулятор Trig tour позволяет учащимся определять графики тригонометрических функций, оценивать или определять фактические значения тригонометрических функций и выводить знак тригонометрических функций ( + , -, 0) для любого заданного угла без калькулятора.

Ход работы:

Шаг 1. Запустите симулятор. В рабочей зоне вам предоставлен:

  • Единичный круг (1);
  • Измерение углов: в градусах или радианах (2);
  • Типы тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс( 3);
  • Кнопки: особые случаи углов, обозначения, сетки (4);
  • График функции (5);
  • Кнопка перезагрузки (6).

Шаг 2. Активируйте кнопки особые случаи углов, обозначения.

Шаг 3. Когда угол равен 0⁰, исследуйте cos α. Область значений [-1, 1]. Область определения все действительные числа. Период 2π.

Шаг 4. Измените градусы угла на особые углы и изучите cos θ. Попробуйте изменить градусы на радианы.

Шаг 5. Измените тригонометрическую функцию на синус. Когда угол равен 0⁰, исследуйте sin α. Область значений [-1, 1]. Область определения все действительные числа. Период 2π.

Шаг 6. Измените на особые углы и исследуйте sin θ.

Шаг 7. Измените тригонометрическую функцию на тангенс. Когда угол равен 0⁰, исследуйте tg θ. Область значений — это все действительные числа. Тангенс определен для всех углов, кроме тех, которые соответствуют кратным π/2 (90 градусов) плюс или минус любое целое число π. Период π.

Шаг 8. Измените на особые углы и исследуйте tg θ.

Шаг 9. Снимите флажок от особых углов и изучите функции.

Заключение

Учащиеся работали в симуляторе, изучали график функции в зависимости от угла и числовые значения функции как стороны прямоугольного треугольника, вписанного в единичный круг. Используя понятие единичного круга, он определил знак тригонометрической функции ( + , -, 0) для любого заданного угла без калькулятора. Используя понятие единичной окружности, он оценил значение тригонометрических функций для любого заданного угла без калькулятора.

Словарь терминов

  • Values — значения — мәні
  • Angle — угол — бұрыш
  • Degrees — градус -градус
  • Radians — радиан — радиан
  • Special angles — особые случаи углов — бұрыштардың градустық өлшемдері
  • Labels — обозначения — белгілеу
  • Grids — сетки — тор