Изучение графика функции с помощью производной

Calculus Grapher by PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, licensed under CC-BY-4.0 (https://phet.colorado.edu)

Цель:

  • Знать геометрический и физический смысл произведения; 
  • Изучение графика функции и графика производной;
  • Создание касательной к графику функции в данной точке.

Эта виртуальная работа предназначена для использования на уроках математики в следующей главе:

  • 10 класс. ”Применение производной”

Теоретическая часть

Производная — это математическая функция, которая показывает скорость изменения другой функции. Изучение графика производной позволяет получить ценную информацию о поведении исходной функции.

1. Связь между графиками f(x) и f'(x)

  • Точки пересечения с осью x: Координаты x точек пересечения графика производной с осью x являются точками экстремума (максимума или минимума) исходной функции.
  • Интервалы монотонности:
    • Если f'(x) > 0 на интервале (a, b), то f(x) возрастает на этом интервале.
    • Если f'(x) < 0 на интервале (a, b), то f(x) убывает на этом интервале.
  • Локальные максимумы и минимумы:
    • Точка x0 является точкой максимума f(x), если f'(x0) > 0, а затем f'(x) < 0.
    • Точка x0 является точкой минимума f(x), если f'(x0) < 0, а затем f'(x) > 0.
  • Асимптоты:
    • Горизонтальная асимптота y = L, если lim⁡x → ±∞ f(x) = L.
    • Вертикальная асимптота x = a, если lim⁡x → a f(x) = ±∞.

2. Алгоритм исследования графика производной

  1. Найти нули производной f'(x) = 0.
  2. Расставить точки x0, где f'(x) = 0, и точки xа и xb, где f'(x) не определена, по числовой оси в порядке возрастания.
  3. Определить знак f'(x) в каждом промежутке между найденными точками, используя тестовую точку из промежутка.
  4. Проанализировать знаки f'(x) и сделать выводы о монотонности, экстремумах и асимптотах f(x).
  5. Построить график f'(x), используя полученные сведения.

Виртуальный эксперимент

В виртуальной работе “Изучение графика функции с помощью производной” учащиеся позволяют исследовать и определять связи между графиками функции и ее производной. На экране производной учащиеся могут изменить функцию и просмотреть график ее производной.

Ход работы:

Шаг 1. Запустите симуляцию: вам будет предложено 4 различных режима: “Derivative”, “Integral”, “Advanced” и “Lab”. В этой работе вы будете работать в разделе «Derivative». Откройте раздел «Derivative».

Шаг 2. В рабочей зоне вам предоставлен:

  • Плоскости, на которых отображаются графики f (x) и f'(x) (1);
  • Вы можете скрыть график с помощью кнопки с изображением глаза (2);
  • Кнопка приближения и удаления плоскости, на которой отображаются графики f'(x) (3);
  • Для f(x) есть 4 разных типа графика (4);
  • Вы можете выбрать объем волны для типа графика 1-2 (5);
  • Кнопки возврата и ластика (6);
  • Кнопка отображения касательного графика (7); 
  • Кнопка базовая прямая (8);
  • Кнопка отображения сетки в плоскостях (9);
  • Кнопка перезагрузки (10).

Шаг 3. Нажмите кнопку отображения сетки в плоскостях.

Шаг 4. Постройте график функции f(x). Нарисуйте график, поднимая или опуская синюю линию вдоль оси OX. Если вы поднимаете линию это функция — cos(x), если вы опускаете, то sin(x). У вас автоматически появится график производной на плоскости, расположенной ниже. Если f(x)=cos(x), то f'(x)=sin(x). Если f(x)=sin(x), то f'(x)=cos (x).

Шаг 5. Щелкните показать касательный график. На экране появляется прерывистая линия с красной прямой и круглой головой. Исследуйте движение касательной по графику, перемещая колесо по графику функции. Кроме того, вы можете увидеть, что касательная имеет разное значение в каждой части графика, на панели, которая появляется слева. 

Шаг 6. Удалите график на плоскости, нажав на ластик. Измените объем волны. 

Шаг 7. Нарисуйте график, поднимая или опуская синюю линию вдоль оси OX. Изучите графики функций f(x) и f'(x) и движение касательной по графику. Если график производной не отображается полностью на плоскости, можно нажать кнопку  “-” и уменьшить масштаб.

Шаг 8. Удалите график на плоскости, нажав на ластик. Выберите второй тип графика. Измените объем волны в зависимости от ваших предпочтений. функция f (x) — сложная функция. Нарисуйте график, поднимая или опуская синюю линию вверх. 

Шаг 9. Изучите графики функций f(x) и f'(x) и движение касательной по графику.

Шаг 10. Удалите график на плоскости, нажав на ластик. Выберите третий тип графика. Здесь f (x)=±kx. Нарисуйте график, поднимая или опуская синюю линию вдоль оси OX. 

Шаг 11. У вас f'(x) = ±k. Изучите графики функций f(x) и f'(x) и движение касательной по графику. 

Шаг 12. Удалите график на плоскости, нажав на ластик. Выберите тип четвертого графика. Здесь f (x)=±k. Нарисуйте график, поднимая или опуская синюю линию вдоль оси OX вверх. 

Шаг 13. У вас f'(x)=0. изучите графики функций f(x) и f'(x) и движение касательной по графику. 

Заключение

Выполняя эту виртуальную работу, учащиеся изучали графики производных функций с помощью графиков заданных функций. Кроме того, он также исследовал касательную линию, один из важнейших элементов графика функции. Поскольку использование производной является началом, важной темой математического анализа, эта симуляция может быть очень полезной для учащихся.