Сложение рациональных чисел с помощью координатной прямой

Number Line: Distance by PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, licensed under CC-BY-4.0 (https://phet.colorado.edu)

Цель:

  • Выполнение сложения и вычитания целых чисел с помощью координатной прямой;
  • Выполнение сложения и вычитания рациональных чисел с одинаковыми символами и разными символами;
  • Нахождение расстояний точек на координатной прямой.

Эта виртуальная работа предназначена для использования на уроках математики в следующей главе:

  • 6 класс. «Рациональные числа и применение к ним приемов”

Теоретическая часть

1. Определение и представление

  • Положительные числа – это числа, которые больше нуля (0).
  • Отрицательные числа – это числа, которые меньше нуля (0).
  • Нуль (0) не является ни положительным, ни отрицательным числом.

Примеры:

  • Положительные числа: 1, 2, 3, 10, 100, …
  • Отрицательные числа: -1, -2, -3, -10, -100, …

2. Сравнение положительных и отрицательных чисел на числовой оси

  • Положительные числа располагаются на числовой оси правее нуля.
  • Отрицательные числа располагаются на числовой оси левее нуля.
  • Чем дальше число от нуля, тем оно больше (по модулю).

3. Арифметические действия с положительными и отрицательными числами

  • Сложение:
    • Сумма двух чисел с одинаковыми знаками (положительных или отрицательных) является числом того же знака.
    • Сумма двух чисел с разными знаками является разностью модулей этих чисел, и знак суммы совпадает со знаком большего числа.
  • Вычитание:
    • Вычитание числа одного знака из числа другого знака равно сложению модулей этих чисел, и знак результата совпадает со знаком первого (уменьшаемого) числа.
  • Умножение:
    • Произведение двух чисел с одинаковыми знаками (положительных или отрицательных) является положительным числом.
    • Произведение двух чисел с разными знаками является отрицательным числом.
  • Деление:
    • Деление двух чисел с одинаковыми знаками (положительных или отрицательных) является положительным числом.
    • Деление двух чисел с разными знаками является отрицательным числом.

4. Модуль числа

Модуль числа – это его абсолютное значение, т.е. расстояние от нуля. Модуль числа всегда является неотрицательным числом.

Обозначение: Модуль числа a записывается как |a|.

Примеры: |5| = 5, |-3| = 3, |0| = 0.

Виртуальный эксперимент

Симулятор “Числовая линия: моделирование расстояния” учит учащихся учиться вычитать в различных контекстах, определять закономерности и обобщать, как интерпретировать вычитание как расстояние. На экране Explore учащиеся могут исследовать вычитание, используя два объекта, и определить, учитывается ли расстояние между ними при вычитании. Экран Generic предлагает гибкие возможности для рассуждений о вычитании в любом контексте или без контекста и обобщает концепцию вычитания как расстояния между двумя целыми числами на числовой линии. 

Ход работы:

Шаг 1. Запустите симуляцию: вам будет предоставлено 2 различных режима: “Explore” и “Generic”. Откройте раздел «Explore». 

Шаг 2. В рабочей зоне вам предоставлен:

  • Ось координат (1);
  • Плоскость размещения тел (2);
  • Тела для размещения (3);
  • Различные условия для расчета (4);
  • Доска для расчета расстояния между двумя телами (5);
  • Кнопки абсолютного значения и простого значения (6);
  • Кнопки отображения и скрытия данных по оси координат (7);
  • Кнопка переключения тел (8);
  • Кнопка перезагрузки (9).

Шаг 3. Расположите дом и человека на плоскости. Изучите данные с оси координат. Чему равно абсолютное значение? 

Шаг 4. Нажмите кнопку простое значение. Как изменились данные на панели вычислений? 

Шаг 5. Нажмите кнопку «Переместить тела». Изучите данные на оси координат и на панели вычислений. 

Шаг 6. Щелкните абсолютное значение. Еще раз изучите изменения в расчетах. 

Шаг 7. Измените расстояние между домом и человеком. Проведите исследование, повторив описанные выше шаги.

Шаг 8. Откройте второй случай расчета. Здесь вы будете изучать разницу температур. 

Шаг 9. Расположите термометры на плоскости, изображающей времена года. Точно так же, как вы изучаете расстояние между домом и человеком, проводите исследования между температурами. 

Шаг 10. Откройте третий случай расчета. Здесь вы исследуете вертикальное расстояние между птицей и рыбой.

Шаг 11. Поместите птицу в небо, рыбу в воду. Проводите исследования между ними так же, как вы изучаете расстояние между домом и человеком. 

Шаг 12. Откройте раздел «Generic». В рабочей зоне вам предоставлен:

  • Ось координат (1);
  • Точки размещения (2);
  • Условия горизонтального и вертикального расчета (3);
  • Размеры оси координат: (-10;10), (-30;30), (-100;100) (4);
  • Доска для расчета расстояния между двумя точками (5);
  • Кнопки абсолютного значения и простого значения (6);
  • Кнопки отображения и скрытия данных по оси координат (7);
  • Кнопка переключения тел (8);
  • Кнопка перезагрузки (9).

Шаг 13. Расположите две точки на оси координат. Изучите данные на оси координат и на панели вычислений.

Шаг 14. Исследуйте расстояния между телами, выполняя различные расчеты точек. 

Заключение

Учащиеся изучили взаимосвязь между горизонтальными и вертикальными числовыми линиями и координатной плоскостью. В этой симуляции приводятся жизненные ситуации, создаются условия для внедрения знаний в жизнь. Абсолютное значение, применение операций к рациональным числам может служить вспомогательным средством для овладения темами.