Статистикалық деректер: Орташа мән. Стандартты ауытқу

Center and Variability by PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, licensed under CC-BY-4.0 (https://phet.colorado.edu)

Мақсаты:

  • Орташа мән мен стандартты ауытқуды есептеу үшін анықтамалар мен формулаларды білу.

Бұл виртуалды жұмыс математика сабағында келесі тақырыптары бойынша пайдалануға арналған:

  • 8 сынып. “Орташа мән. Дисперсия. Стандартты ауытқу”

Теориялық бөлім

Медиана

Медиана — бұл өсіп келе жатқан сандар тізімінің ортасында орналасқан сан. Егер сандар саны жұп болса, онда медиана екі орталық санның арифметикалық орташа мәні болып табылады.

Медиананы қалай табуға болады:

  • Мәндерді өсу ретімен орналастырыңыз.
  • Егер мәндер саны жұп болса, онда медиана екі «ортаңғы» мәндердің арифметикалық орташа мәні болып табылады.
  • Егер мәндер саны тақ болса, онда медиана ортасында орналасқан мән болып табылады.

Мысал: бізде адамдардың бойының 5 өлшемінен тұратын мәліметтер жиынтығы бар делік: 170 см, 175 см, 180 см, 185 см, 190 см. адамдардың бойының 5 өлшемінен тұратын мәліметтер жиынтығында медиана — 180 см.

Арифметикалық орта

Арифметикалық орта — бұл топтағы барлық сандардың орташа мәнін көрсететін сан. Арифметикалық орташа мәнді табу үшін барлық сандарды қосып, алынған соманы осы сандар санына бөлу керек.

Формула:

Орташа = (барлық мәндердің қосындысы) / (мәндер саны)

Мысал: бізде адамдардың бойының 5 өлшемінен тұратын мәліметтер жиынтығы бар делік: 170 см, 175 см, 180 см, 185 см, 190 см. Арифметикалық ортасы: (170 + 175 + 180 + 185 + 190) / 5 = 180.

Вариация

Диапазон — бұл минималды және максималды деректер нүктелері арасындағы қашықтық.

Мысал: бізде адамдардың бойының 5 өлшемінен тұратын мәліметтер жиынтығы бар делік: 170 см, 175 см, 180 см, 185 см, 190 см. Диапазон: 190-170=20.

Квартиль аралығы (IQR) — бұл 25-ші процентильден 75-ші процентильге дейінгі диапазон немесе сандар жиынтығының орташа 50 пайызы. Ол көбінесе орташа диапазонның қандай болуы керектігін анықтау құралы ретінде есептеледі.

Мысал: бізде адамдардың бойының 5 өлшемінен тұратын мәліметтер жиынтығы бар делік: 170 см, 175 см, 180 см, 185 см, 190 см. 

Q1=(x1+x2)/2=(175+170)/2=172.5

Q3=(x4+x5)/2=(185+190)/2=187.5

IQR=Q3-Q1=187.5-172.5=15

Орташа абсолютті ауытқу — әрбір деректер нүктесінен орташа мәнге дейінгі орташа қашықтық.

Мысал: бізде адамдардың бойының 5 өлшемінен тұратын мәліметтер жиынтығы бар делік: 170 см, 175 см, 180 см, 185 см, 190 см. ⅕(170+175+180+185+190)=180

MAD=⅕(∣180−170∣+∣180−175∣+∣180−180∣+∣180−185∣+∣180−190∣)=⅕(10+5+0+5+10)=6.

Виртуалды эксперимент

Бұл симуляция оқушыларға бір-бірінен алыс нүктелері бар шағын деректер жиынтығымен жұмыс істеу арқылы орташа мән, медиана мәнін үйренуге мүмкіндік береді. Медиана экраны арқылы оқушылар деректер нүктесінің медиана мәніне қалай әсер ететінін көре алады. «Орташа және медиана» экранында оқушылар орташа мәнді және медиананы салыстырады. Оларға жаңа нүктелер немесе жеке нүкте қозғалысы қалай әсер ететінін көреді.

Жұмыс барысы:

Бөлім 1. Арифметикалық орта және медиана

1-қадам. Симуляцияны іске қосыңыз: сізге 3 түрлі режим беріледі: “Median”, “Mean&Median” және “Variability”. Бұл жұмыста соңғы екі бөлімде жұмыс жасайтын боласыздар. “Mean&Median” бөлімін ашыңыз.

2-қадам. Жұмыс аймағында сізге берілген:

  • Деректерді көрсететін аймақ: арақашықтық, арифметикалық орта, медиана батырмалары;
  • Қатысушы және доп;
  • Доп тебу батырмалары: 1 рет және 5 рет тебу;
  • Арақашықтық: 0-15 метр;
  • Болжамды медиана, болжамды арифметикалық орта, медиана және арифметикалық орта батырмалары;
  • Деректерді жою және қайта бастау батырмалары.

3-қадам. Деректерді көрсететін аймақтағы батырмаларды және болжамды медиана, болжамды арифметикалық орта, медиана, арифметикалық орта батырмаларын қосыңыз.

4-қадам. Допты 1 рет тебу батырмасын басыңыз. Деректерді зерттеңіз. 

5-қадам. Допты тағы 2-3 рет тебіңіз. Деректерді зерттеңіз.

6-қадам. Деректерді жойыңыз.

7-қадам. Допты 5 рет тебу батырмасын басыңыз. Деректерді зерттеңіз.

Бөлім 2. Вариация

8-қадам. “Variability” бөлімін ашыңыз. Жұмыс аймағында сізге берілген:

  • Деректерді көрсететін аймақ: диапазон, квартиль аралығы, орташа абсолютті ауытқу батырмалары;
  • Төрт түрлі қатысушы және доп;
  • Доп тебу батырмалары: 1 рет және 5 рет тебу;
  • Арақашықтық: 0-15 метр;
  • Медиана, арифметикалық орта, көрсеткіш және аралық құрал батырмалары;
  • Деректерді жою және қайта бастау батырмалары.

9-қадам. Медиана, арифметикалық орта, көрсеткіш және аралық құрал батырмаларын қосыңыз.

10-қадам. Допты 3 рет тебіңіз. Диапозон (range) батырмасын іске қосыңыз. Деректерді зерттеңіз. 

11-қадам. Деректерді жойыңыз.

12-қадам. Допты 5 рет тебу батырмасын басыңыз. Деректерді зерттеңіз.

13-қадам. Квартиль аралығы тарауына өтіңіз.

14-қадам. Квартиль аралығы (IQR) батырмасын іске қосыңыз. Деректерді зерттеңіз.

15-қадам. Орташа абсолютті ауытқу тарауына өтіңіз.

16-қадам. Орташа абсолютті ауытқу (MAD) батырмасын іске қосыңыз. Деректерді зерттеңіз.

17-қадам. Деректерді өзгерту арқылы тәжірибелерді бірнеше рет қайталап көрсеңіз болады. 

Қорытынды

Бұл виртуалды жұмыс орташа, медиана, квартиль аралығы және орташа абсолютті ауытқу сияқты негізгі статистикалық ұғымдарды зерттеудің құнды құралы болып табылады. Бұл оқушыларға анықтамалар мен формулаларды игеріп қана қоймай, сонымен қатар бұл ұғымдардың нақты деректерге қалай қолданылатынын анық көруге мүмкіндік береді. Графиктер мен диаграммалар арқылы деректерді визуализациялау зерттеуді түсінікті және қызықты етеді.