Статистические данные: Среднее значение. Стандартное отклонение

Center and Variability by PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, licensed under CC-BY-4.0 (https://phet.colorado.edu)

Цель:

  • Знание определений и формул для расчета среднего значения и стандартного отклонения.

Эта виртуальная работа предназначена для использования на уроках математики по следующим темам:

  • 8 класс. «Среднее значение. Дисперсия. Стандартное отклонение”

Теоретическая часть

Медиана

Медиана — это число, которое находится в середине упорядоченного по возрастанию списка чисел. Если количество чисел четное, то медиана — это среднее арифметическое двух центральных чисел.

Как найти медиану:

  1. Расположить значения в порядке возрастания.
  2. Если количество значений четное, то медиана — это среднее арифметическое двух «серединных» значений.
  3. Если количество значений нечетное, то медиана — это значение, которое находится посередине.

Пример: Предположим, у нас есть набор данных из 5 измерений роста людей: 170 см, 175 см, 180 см, 185 см, 190 см. В наборе данных из 5 измерений роста людей медиана — 180 см.

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое — это число, которое показывает среднюю величину всех чисел в группе. Для того чтобы найти среднее арифметическое, нужно сложить все числа и поделить полученную сумму на количество этих чисел.

Формула:

Среднее = (Сумма всех значений) / (Количество значений)

Пример: Предположим, у нас есть набор данных из 5 измерений роста людей: 170 см, 175 см, 180 см, 185 см, 190 см. Среднее: (170 + 175 + 180 + 185 + 190) / 5 = 180 см.

Вариация

Диапазон — это расстояние между минимальными и максимальными точками данных.

Пример: Предположим, у нас есть набор данных, состоящий из 5 измерений роста людей: 170 см, 175 см, 180 см, 185 см, 190 см. Диапазон: 190-170=20.

Интервал квартиля (IQR) — это диапазон от 25-го процентиля до 75-го процентиля, или в среднем 50 процентов набора чисел. Его часто считают средством определения того, каким должен быть средний диапазон.

Пример: Предположим, у нас есть набор данных, состоящий из 5 измерений роста людей: 170 см, 175 см, 180 см, 185 см, 190 см. 

Q1=(x1+x2)/2=(175+170)/2=172.5

Q3=(x4+x5)/2=(185+190)/2=187.5

IQR=Q3-Q1=187.5-172.5=15

Среднее абсолютное отклонение — это среднее расстояние от каждой точки данных до среднего.

Пример: Предположим, у нас есть набор данных, состоящий из 5 измерений роста людей: 170 см, 175 см, 180 см, 185 см, 190 см. ⅕(170+175+180+185+190)=180

MAD=⅕(∣180−170∣+∣180−175∣+∣180−180∣+∣180−185∣+∣180−190∣)=⅕(10+5+0+5+10)=6.

Виртуальный эксперимент

Эта симуляция позволяет учащимся изучать среднее значение, медиану, работая с небольшими наборами данных с точками, удаленными друг от друга. С помощью экрана медианы учащиеся могут увидеть, как точка данных влияет на значение медианы. На экране «среднее значение и медиана» учащиеся сравнивают среднее значение и медиану. Они видят, как на них влияют новые точки или движение отдельных точек.

Ход работы:

Раздел 1. Среднее арифметическое и медиана

Шаг 1. Запустите симуляцию: вам будет предоставлено 3 различных режима: “Median”, “Mean&Median” и “Variability”. В этой работе вы будете работать в последних двух отделах. Откройте раздел «Mean&Median».

Шаг 2. В рабочей зоне вам предоставлен:

  • Область отображения данных: кнопки расстояние, среднее арифметическое, медианы;
  • Участник и мяч;
  • Кнопки удара по мячу: удар 1 раз и удар 5 раз;
  • Расстояние: 0-15 метров;
  • Кнопки: предполагаемая медиана, предполагаемое среднее арифметическое, медиана и среднее арифметическое;
  • Кнопки удаления данных и перезапуска.

Шаг 3. Включите кнопки в области, отображающей данные, и кнопки предполагаемой медианы, предполагаемого среднего, медианы, арифметической средней.

Шаг 4. Нажмите кнопку удара по мячу 1 раз. Изучите данные. 

Шаг 5. Ударьте по мячу еще 2-3 раза. Изучите данные.

Шаг 6. Удалите данные.

Шаг 7. Нажмите кнопку, чтобы ударить по мячу 5 раз. Изучите данные.

Часть 2. Вариация

Шаг 8. Откройте раздел «Variability». В рабочей зоне вам предоставлен:

  • Область отображения данных: диапазон, интерквартильный размах, кнопки среднего абсолютного отклонения;
  • Четыре разных участника и мяч;
  • Кнопки удара по мячу: удар 1 раз и удар 5 раз;
  • Расстояние: 0-15 метров;
  • Кнопки медианы, среднего арифметического, указателя и интервала;
  • Кнопки удаления данных и перезапуска.

Шаг 9. Добавьте кнопки медианы, среднего арифметического, указателя и интервала.

Шаг 10. Ударьте по мячу 3 раза. Запустите кнопку диапазон (range). Изучите данные. 

Шаг 11. Удалите данные.

Шаг 12. Нажмите кнопку, чтобы ударить по мячу 5 раз. Изучите данные.

Шаг 13. Перейдите к главе «интерквартильный размах».

Шаг 14. Запустите кнопку интерквартильный размах (IQR). Изучите данные.

Шаг 15. Перейти к главе среднее абсолютное отклонение.

Шаг 16. Запустите кнопку среднего абсолютного отклонения (MAD). Изучите данные.

Шаг 17. Вы можете попробовать эксперименты несколько раз, изменив данные.

Заключение

Данная виртуальная работа представляет собой ценный инструмент для изучения основных статистических понятий, таких как среднее значение, медиана, дисперсия, стандартное отклонение, интерквартильный размах и среднее абсолютное отклонение. Она позволяет учащимся не только усвоить определения и формулы, но и наглядно увидеть, как эти понятия применяются к реальным данным. Визуализация данных с помощью графиков и диаграмм делает изучение более понятным и увлекательным.