Туындының көмегімен функцияның графигін зерттеу

Calculus Grapher by PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, licensed under CC-BY-4.0 (https://phet.colorado.edu)

Мақсаты:

  • Туындының геометриялық және физикалық мағынасын білу; 
  • Функцияның графигін және туындының графигін зерттеу;
  • Берілген нүктеде функцияның графигіне жанама жасау.

Бұл виртуалды жұмыс математика сабағында келесі тарауы бойынша пайдалануға арналған:

  • 10 сынып. “Туындыны қолдану”

Теориялық бөлім

Функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасының аргумент өсімшесінің нөлге ұмтылғандағы шегі бар болса, ол шек  функцияның туындысы деп аталады.

1. f(x) және f'(x) графиктері арасындағы байланыс

x осімен қиылысу нүктелері: туынды графиктің х осімен қиылысу нүктелерінің х координаттары бастапқы функцияның экстремум (максимум немесе минимум) нүктелері болып табылады.

Монотондылық аралықтары:

  • Егер(a, b) аралықта f'(x) > 0 болса, онда f(x) сол аралықта өседі.
  • Егер (a, b) аралықта f'(x) < 0 болса, онда f(x) сол аралықта кемиді.

Локальды максимумдар мен минимумдар:

  • x0 нүктесі f(x) максимум нүктесі болып табылады, егер f'(x0) > 0, содан кейін f'(x) < 0.
  • x0 нүктесі f(x) минимум нүктесі болып табылады, егер f'(x0) < 0, содан кейін f'(x) > 0.

Асимптоталар:

  • Көлденең асимптота y = L, егер lim⁡x → ±∞ f(x) = L.
  • Тік асимптота x = a, егер lim⁡x → a f(x) = ±∞.

2. Туынды графикті зерттеу алгоритмі

  • f'(x) = 0 туындысының нөлдерін табыңыз.
  • Нүктелерді орналастырыңыз x0, мұндағы f'(x) = 0, және нүктелер xaжәне xb, мұндағы f'(x) анықталмаған, өсу ретімен сандық ось бойынша.
  • Табылған нүктелер арасындағы әр аралықта f'(x) белгісін анықтаңыз, алшақтықтағы сындық нүктесін қолданыңыз.
  • f'(x) белгілерін талдаңыз және f(x) монотондылығы, экстремумдары және асимптоталары туралы қорытынды жасаңыз.
  • Алынған мәліметтерді пайдаланып f'(x) графигін салыңыз.

Виртуалды эксперимент

“Туындының көмегімен функцияның графигін зерттеу” виртуалды жұмысында оқушылар функцияның графиктері мен оның туындысының арасындағы байланыстарды зерттеуге және анықтауға мүмкіндік береді.

Туынды экранында оқушылар функцияны өзгерте алады және оның туындысының графигін көре алады.

Жұмыс барысы:

1-қадам. Симуляцияны іске қосыңыз: сізге 4 түрлі режим беріледі: “Derivative”, “Integral”, “Advanced” және “Lab”. Бұл жұмыста “Derivative” бөлімінде жұмыс жасайтын боласыз. “Derivative” бөлімін ашыңыз.

2-қадам. Жұмыс аймағында сізге берілген:

  • f(x) және f'(x) графиктері көрсетілетін жазықтықтар (1);
  • Көз бейнеленген батырма арқылы графикты жасыруға болады (2);
  • f'(x) графиктері көрсетілетін жазықтықты жақындату және алыстату батырмасы (3);
  • f(x) үшін 4 түрлі график бар (4);
  • 1-2 график түрі үшін толқын көлемін таңдауға болады (5);
  • Кері қайту және өшіргіш батырмалары (6);
  • Жанама графикты көрсету батырмасы (7); 
  • Базалық түзу батырмасы (8);
  • Жазықтықтарда торды көрсету батырмасы (9);
  • Қайта бастау батырмасы (10).

3-қадам. Жазықтықтарда торды көрсету батырмасын басыңыз.

4-қадам. f(x) функциясының графигін салыңыз. OX осі бойындағы көк түзуді жоғары көтеру не төменге түсіру арқылы график салыңыз. Егер жоғары көтерсеңіз cos(x), төменге түсірсеңіз sin(x) функциясының графигі. Сізде автоматты түрде төменде орналасқан жазықтықта туынды графигі көрінеді. Егер f(x)=cos(x), онда f'(x)=sin(x). Егер f(x)=sin(x), онда f'(x)=cos(x).

5-қадам. Жанама графикты көрсету батырмасын басыңыз. Экранда қызыл түзу және дөңгелек басы бар үзілмелі түзу пайда болады. Дөңгелекті функция графигі бойымен жылжыта отырып, жанаманың график бойымен қозғалысын зерттеңіз. Сонымен қатар, жанаманың графиктің әр бөлігінде әртүрлі мәнге ие болатынын сол жақта пайда болған тақтадан көре аласыз. 

6-қадам. Өшіргішті басып жазықтықтағы графикті кетіріңіз. Толқын көлемін өзгертіңіз. 

7-қадам. OX осі бойындағы көк түзуді жоғары көтеру не төменге түсіру арқылы график салыңыз. f(x) және f'(x) функция графиктерін және жанаманың график бойымен қозғалысын зерттеңіз. Егер туынды графигы жазықтықта толық көрінбесе “-” батырмасын басып, масштабын кішірейтсеңіз болады. 

8-қадам. Өшіргішті басып жазықтықтағы графикті кетіріңіз. Екінші график түрін таңдаңыз. Толқын көлемін қалауыңызға қарай өзгертіңіз. f(x) функциясы — күрделі функция. Көк түзуді жоғары көтеру не төменге түсіру арқылы график салыңыз. 

9-қадам. f(x) және f'(x) функция графиктерін және жанаманың график бойымен қозғалысын зерттеңіз.

10-қадам. Өшіргішті басып жазықтықтағы графикті кетіріңіз. Үшінші график түрін таңдаңыз. Бұл жерде f(x)=±kx. OX осі бойындағы көк түзуді жоғары көтеру не төменге түсіру арқылы график салыңыз. 

11-қадам. Сізде f'(x)=±k. f(x) және f'(x) функция графиктерін және жанаманың график бойымен қозғалысын зерттеңіз. 

12-қадам. Өшіргішті басып жазықтықтағы графикті кетіріңіз. Төртінші график түрін таңдаңыз. Бұл жерде f(x)=±k. OX осі бойындағы көк түзуді жоғары көтеру не төменге түсіру арқылы график салыңыз. 

13-қадам. Сізде f'(x)=0. f(x) және f'(x) функция графиктерін және жанаманың график бойымен қозғалысын зерттеңіз. 

Қорытынды

Оқушылар бұл виртуалды жұмысты орындай отырып, берілген функция графиктері арқылы туынды функция графиктерін зерттеді. Сонымен қатар, функция графигінде маңызды элементтің бірі — жанама түзуді де зерттеді. Туындыны қолдану математикалық анализдың бастамасы, маңызды тақырыбы болғандықтан бұл симуляция оқушылар үшін өте пайдалы бола алады.